Conocimientos previos necesarios:
Para consultar dudas sobre los temas clicka en los enlaces siguientes:
Geometría Analítica
Primera Parte
Calculo Diferencial
"Discontinuidad de funciones"
Derivación por formula
Objetivo: Ayudar al estudiante de bachillerato a adquirir las competencias necesarias en el área del Calculo Diferencial e Integral.
Dirigido a: Alumnos de bachillerato cursando el quinto y sexto semestre o personas interesadas en el Calculo Diferencial e Integral a nivel bachillerato.
A continuación describiremos los temas a tratar en la primera unidad explicando cada uno al final del índice de contenidos de la primera unidad.
Índice de contenidos temáticos
Primera Parte
Calculo Diferencial
1.1.- Funciones
1.1.1.- Tabla de valores
1.1.2.- Gráficas
1.1.3.- Discontinuidad de funciones
1.2.- Operaciones con funciones
1.2.1.- Suma de funciones
1.2.2.- Resta de funciones
1.2.3.- Multiplicación de funciones
1.2.4.- División de funciones
1.3. - Funciones inversas
1.4.- Gráficas de funciones
1.5.- Límites
1.5.1.- Teoremas de los límites
1.6.- La derivada
1.6.1.- Derivación por incrementos
1.6.2.- Derivación por la regla de la cadena
1.6.3.- Derivación por Formula
1.6.3.1.- Derivación de Funciones Algebraicas
1.6.3.2.- Derivación de Funciones trascendentales
1.6.3.2.1.- Derivación de Funciones Logarítmicas
1.6.3.2.2.- Derivación de Funciones Exponenciales
1.6.3.2.3.- Derivación de Funciones Trigonométricas
Función:
Conjunto de parejas ordenadas (x,y), en el cual no haya dos parejas distintas donde a cada valor x le corresponde un solo valor y. el conjunto de todos los valores posibles de x se llama dominio de la función y el conjunto de todos los valores posibles de y se denominan contradominio.
Las cantidades X y Y se denominan variables donde la X es la variable independiente y Y es la variable dependiente.
Resumiendo:
· Relación: es una expresión matemática donde se comparan dos o más cantidades resaltando sus semejanzas y sus diferencias.
· Función: es una relación donde una de las variables depende de él o los valores de las otras variables.
· Pasos para resolver una función:
1. Despejar
2. Tabular
3. Sustituir
4. Graficar
Ejemplo:
- 4= x - y
1.
y = x + 4
2.
f(x) = x + 4
3.
f(x) = - 2 + 4
= 2
f(x) = -1 + 4
= 3
f(x) = 0 + 4
= 4
f(x)= 1+ 4
f(x) = 5
f(x) = 2+ 4
f(x) = 6
4.
Para que esto quede mas claro puedes ver este vídeo:
Ecuaciones cuadráticas:
y=x²
Donde:
y depende del valor de x
y es la variable dependiente
x es la variable independiente
· Dominio: es el conjunto de valores de x
· Contradominio: es el conjunto de valores de y
· Rango: es el intervalo de valores de una variable
· Rango del dominio: -∞ hasta ∞
· Rango del contradominio: desde 0 hasta ∞
Ejemplo de ecuación cuadrática:
x²-y=0
y=x²
f(x)=x²
"Discontinuidad de funciones"
Si una función "f" no es continua en un punto "x" se dice que es discontinua en dicho punto y esto puede producirse por varias causas dando lugar a varios tipos de discontinuidades:
Discontinuidad evitable y discontinuidad inevitable en este punto analizaremos la discontinuidad inevitable.
Ejemplo:
f(x) = 2/x - 2
tabulando:
con los valores:
f(x) = 2/-1 - 2
f(x) = 2/-3
f(x) = -2/3 f(x) = 2/0 - 2
f(x) = 2/-2
f(x) = -1
f(x) = 2/1 - 2
f(x) = 2/-1
f(x) = -2
f(x) = 2/2 - 2
f(x) = 2/0
f(x) = error
f(x) = 2/3 - 2
f(x) = 2/1
f(x) = 2
f(x) = 2/4 - 2
f(x) = 2/2
f(x) = 1
La razón por la cual se rompe la continuidad es por que no se puede dividir entre cero ya que:
a / 0 = error
3 / 0 = error
y a este error matemático lo llamamos infinito, por que para que cero multiplicado por alguna cantidad nos de cualquier valor esta cantidad debe de ser infinitamente grande, bueno esto teóricamente por que sabemos que cualquier cantidad multiplicada por cero da cero.
cualquier cantidad divida entre cero genera un error matemático ya que al dividir x cantidad entre cero no se esta realizando división alguna ya que cero no es una cantidad.
Puedes ver el vídeo para que entiendas:
"Operaciones con funciones"
"Funciones inversas"
La inversa de una relación se obtiene intercambiando el orden de las parejas (x,y) por (y,x).
Relación dada (2,1)(4,2)(6,3)(8,4)
Relación inversa (1,2)(2,4)(3,6)(4,8)
Ejemplo:
Función dada: y = 3x + 2
Función inversa: x = 3y + 2
y = 3(2)+2
y = 6+2
y = 8
y = 3(4)+2
y = 12+2
y =14
y = 3(6)+2
y = 18+2
y = 20
y = 3(8)+2
y = 24+2
y = 26
"Limites"
Teoremas de los límites:
Para llevar a un buen desarrollo este tema necesitas reforzar tus conocimientos sobre los productos notables y la factorizacion puedes consultar el siguiente enlace:
Para llevar a un buen desarrollo este tema necesitas reforzar tus conocimientos sobre los productos notables y la factorizacion puedes consultar el siguiente enlace:
"La derivada"
La derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación).
La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
La derivada de la función en el punto marcado equivale a la pendiente de la recta tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada en rojo).
Empezaremos con derivación por incrementos:
Derivación por incrementos
Δ = variación o incremento
Δ = delta
Δx = incremento de x
Δy = incremento de y
-Δx = incremento negativo
Δx = incremento positivo
x= (Δx+x)
Reglas para derivar por incrementos:
1. Sustituir “x” por el (Δx+x)
2. Desarrollar la función
3. Restar la ecuación original
4. Dividir la función entre Δx
5. Sustituir Δx por su valor
Nota: si no hay valor especifico, será = a 0.
Derivación por la regla de la cadena
